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Le alette e le superfici estese

Quando aggiungere metallo aumenta davvero lo scambio termico, e quando serve solo a consumare alluminio.

La potenza scambiata per convezione fra una superficie e un fluido vale

Tre soli fattori. La differenza di temperatura di solito è imposta dal problema. Il coefficiente h dipende dal fluido e dal moto, e si migliora soltanto entro certi limiti: con l'aria in convezione naturale si sta intorno a 5-10 W/(m²·K), e ventilare costa energia e rumore. Resta l'area. Aumentarla è ciò che fanno le alette: i radiatori dei processori, le batterie alettate dei condizionatori, i tubi di un condensatore, il retro di un frigorifero.

Perché la temperatura non è uniforme

Se l'aletta fosse a temperatura costante, il conto finirebbe qui: dieci volte l'area, dieci volte la potenza. Ma non lo è. Il calore entra dalla base per conduzione e se ne va lungo tutto il fianco per convezione, quindi il flusso che scorre dentro l'aletta diminuisce man mano che ci si allontana dalla base — e con esso la temperatura. La punta è più fredda della radice, e scambia meno.

Scrivendo il bilancio su una fettina di spessore dx (conduzione che entra, conduzione che esce, convezione che se ne va dal fianco) si arriva all'equazione dell'aletta, in cui \theta = T(x) - T_\infty è la temperatura in eccesso rispetto al fluido:

P è il perimetro della sezione (la superficie che scambia, per unità di lunghezza), A_c l'area della sezione trasversale (per dove passa la conduzione), k la conducibilità del materiale.

Il gruppo m è il cuore della faccenda. A numeratore c'è quanto calore l'aletta riesce a cedere al fluido, a denominatore quanto ne riesce a trasportare al suo interno. Un m piccolo — metallo molto conduttivo, sezione generosa — significa un'aletta quasi isoterma, che lavora tutta. Un m grande significa un'aletta che si raffredda nei primi centimetri e poi non serve più a niente.

La soluzione, e cosa dice

Per l'aletta di sezione costante con la punta adiabatica — approssimazione più che ragionevole, perché l'area della punta è minuscola — la soluzione è

e la potenza che entra dalla base, cioè quella complessivamente dissipata:

Il \tanh è la parte interessante. Cresce in fretta fino a mL \approx 1, poi si appiattisce: a mL = 2 vale 0,96, a mL = 3 vale 0,995. Allungare un'aletta oltre mL \approx 2{,}5 non aggiunge quasi nulla: si aggiunge materiale che sta alla temperatura del fluido e non scambia. È l'errore più comune quando si disegnano alette a occhio.

Efficienza ed efficacia — due domande diverse

L'efficienza \eta_a confronta l'aletta reale con un'aletta ideale tutta alla temperatura della base:

Risponde alla domanda «quanto bene sto usando la superficie che ho aggiunto?».

L'efficacia \varepsilon_a confronta invece l'aletta con la superficie nuda che essa copre:

Risponde alla domanda «serviva metterla?». La regola pratica è che sotto 2 non ne vale la pena, e che un'aletta ben progettata sta ben sopra.

Le due grandezze vanno in direzioni opposte, ed è per questo che servono entrambe: un'aletta cortissima ha efficienza vicina a 1 ed efficacia vicina a 1 — è perfetta e inutile. Una lunghissima ha efficienza bassissima ma efficacia alta.

Un caso numerico

Aletta cilindrica, diametro D = 10 mm, lunghezza L = 100 mm, in aria con h = 25 W/(m²·K) e \theta_b = 50 K. Sezione A_c = 7{,}85 \cdot 10^{-5} m², perimetro P = 0{,}0314 m.

Due letture. La prima: l'efficacia è enorme in entrambi i casi — la superficie nuda dissiperebbe 0,098 W, l'aletta ne dissipa venticinque o trenta volte tanto. Con l'aria in convezione naturale le alette convengono quasi sempre.

La seconda: il materiale conta, ma meno di quanto la differenza di conducibilità lascerebbe credere. Quadruplicando k la potenza cresce del 37%, non del 300%, perché \dot Q va come \sqrt{k} e il \tanh nel frattempo si appiattisce. L'alluminio si sceglie per questo, e perché si estrude bene — non perché faccia miracoli.

Quando invece le alette peggiorano le cose

Esiste, e vale la pena conoscerla. Se il coefficiente convettivo è alto e il materiale poco conduttivo, l'aletta introduce una resistenza conduttiva che prima non c'era, e l'efficacia può scendere sotto 1. Il criterio approssimato è che convengano quando

Nel caso di sopra quel gruppo vale 0,018: siamo lontanissimi dal limite. Ma in un liquido, dove h può valere mille volte tanto, il conto cambia — ed è il motivo per cui negli scambiatori le alette si mettono sempre dal lato del gas, mai dal lato dell'acqua.

Il calcolo di una superficie alettata

Nella pratica non si calcola una sola aletta, ma una superficie che ne porta molte più la parte nuda fra l'una e l'altra. Si sommano i contributi con l'efficienza complessiva

e si scrive \dot Q = \eta_0 \, h \, A_{\text{tot}} \, \theta_b. È il numero che compare nei cataloghi delle batterie alettate sotto la voce «superficie di scambio effettiva», e che spiega perché due batterie con la stessa superficie geometrica possano rendere in modo molto diverso.

Da leggere insieme

• La trasmittanza di un elemento opaco: le resistenze superficiali R_{si} e R_{se} sono lo stesso h visto dall'altro lato, come resistenza invece che come conduttanza
• I sistemi termodinamici aperti: il fluido che lambisce le alette di uno scambiatore è un sistema aperto, e la potenza calcolata qui è il \dot Q del suo bilancio

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