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I sistemi termodinamici aperti

Perché per una turbina si scrive l'entalpia e non l'energia interna, e come da un unico bilancio escono Bernoulli e le perdite di carico.

Quasi niente di ciò che serve in fisica tecnica è un sistema chiuso. Una turbina, un compressore, uno scambiatore, un ventilatore, un tratto di tubazione: in tutti c'è del fluido che entra da una parte ed esce dall'altra. Cambiando il modo di guardarli — non più «una massa fissa», ma «una regione fissa attraversata da massa» — i conti diventano sorprendentemente semplici.

Il volume di controllo

Si disegna una superficie chiusa attorno alla macchina e si sta a guardare cosa la attraversa: massa in ingresso, massa in uscita, calore, lavoro. La superficie è immaginaria e ferma; il fluido dentro cambia continuamente, ma se la macchina lavora in regime stazionario ciò che sta dentro il volume, istante per istante, è sempre lo stesso.

Da qui il primo bilancio, quello della massa. Con un ingresso e un'uscita:

\dot m_1 = \dot m_2 = \dot m = \rho \, w \, A

dove w è la velocità media sulla sezione e A l'area. È l'equazione di continuità: se in una condotta la sezione si dimezza, la velocità raddoppia.

Il bilancio di energia

Il secondo bilancio è il primo principio scritto per il volume di controllo. In regime stazionario, per chilogrammo di fluido che passa:

\dot Q - \dot L = \dot m \left[ (h_2 - h_1) + \frac{w_2^2 - w_1^2}{2} + g\,(z_2 - z_1) \right]

Tre termini a destra: la variazione di entalpia, quella di energia cinetica, quella di energia potenziale. A sinistra il calore entrante e il lavoro utile uscente.

Perché compare l'entalpia

È il punto che vale la pena capire una volta per tutte. Per spingere il fluido dentro il volume di controllo bisogna vincere la pressione che c'è all'ingresso; all'uscita, simmetricamente, il fluido che esce compie lavoro sul fluido a valle. Quel lavoro di immissione ed estrazione vale p\,v per unità di massa, e non è lavoro utile: è il prezzo del transito.

Sommandolo all'energia interna si ottiene proprio

h = u + p\,v

L'entalpia non è una grandezza misteriosa: è l'energia interna più il pedaggio di ingresso. Ed è per questo che nei sistemi chiusi si usa u e negli aperti h — non per convenzione, ma perché nei sistemi aperti quel pedaggio esiste.

I casi che ricorrono

Quasi tutte le macchine si ottengono cancellando qualche termine.

Componente	Cosa si annulla	Cosa resta
Turbina, compressore	\dot Q \simeq 0, \Delta w e \Delta z trascurabili	\dot L = -\dot m\,\Delta h
Scambiatore di calore	\dot L = 0, \Delta w e \Delta z trascurabili	\dot Q = \dot m\,\Delta h
Valvola di laminazione	\dot Q = 0, \dot L = 0	h_2 = h_1 — isoentalpica
Ugello, diffusore	\dot Q = 0, \dot L = 0	\dfrac{w_2^2 - w_1^2}{2} = -\Delta h

La valvola di laminazione merita una riga in più: è il componente che nel ciclo frigorifero fa scendere la pressione. Non produce lavoro e non scambia calore, quindi l'entalpia si conserva — ma l'entropia aumenta, ed è una trasformazione irreversibile in modo esemplare.

Da qui a Bernoulli

Prendiamo un fluido incomprimibile (v costante), nessuno scambio di calore, nessun lavoro, nessun attrito. L'entalpia si riduce a \Delta h = v\,\Delta p e il bilancio diventa

\frac{p}{\rho} + \frac{w^2}{2} + g\,z = \text{costante}

cioè il teorema di Bernoulli. Non è una legge a parte: è il bilancio energetico dei sistemi aperti nel caso più povero possibile.

Il guaio è che quel caso non esiste. I fluidi reali hanno viscosità: fra strati adiacenti che scorrono a velocità diverse nascono sforzi di taglio, e per mantenere il moto occorre spendere energia. Quell'energia si degrada in calore e la costante di Bernoulli, lungo il tubo, cala.

Le perdite di carico

La caduta di pressione lungo un tratto rettilineo si scrive con la relazione di Darcy-Weisbach:

\Delta p = f \, \frac{L}{D} \, \frac{\rho \, w^2}{2}

L e D sono lunghezza e diametro, f è il fattore d'attrito. Tre cose da leggere in questa formula:

la perdita cresce con il quadrato della velocità: raddoppiare la portata in un tubo dato quadruplica la perdita, e quindi la potenza di pompaggio;
cresce all'aumentare della lunghezza in modo lineare, il che è ovvio;
diminuisce rapidamente all'aumentare del diametro: a portata fissa, poiché w \propto 1/D^2, la perdita va come 1/D^5. Un tubo un po' più largo cambia tutto, ed è il motivo per cui le reti sottodimensionate non si aggiustano con una pompa più grossa.

Il fattore f dipende dal regime di moto, che si riconosce dal numero di Reynolds:

Re = \frac{\rho \, w \, D}{\mu}

Sotto Re \approx 2\,300 il moto è laminare e f = 64/Re esattamente. Sopra Re \approx 4\,000 è turbolento e f si legge sull'abaco di Moody, in funzione di Re e della rugosità relativa \varepsilon/D. In mezzo c'è una zona di transizione dove i valori sono incerti, e dove è saggio non progettare.

Alle perdite distribuite si aggiungono quelle localizzate — curve, valvole, allargamenti, restringimenti — che si scrivono nella stessa forma:

\Delta p = \zeta \, \frac{\rho \, w^2}{2}

con \zeta tabellato per ogni tipo di accidentalità. In un impianto reale, e soprattutto in centrale termica, le localizzate pesano spesso più delle distribuite.

Da leggere insieme

L'aria umida e il diagramma psicrometrico: l'aria umida in moto in un canale è un sistema aperto, e i processi di trattamento sono bilanci di massa e di entalpia sullo stesso volume di controllo
La trasmittanza di un elemento opaco, per il lato della trasmissione del calore

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